진동(Oscillation)은 물체가 평형 상태를 기준으로 반복적인 운동을 하는 현상이다.
진동을 이해하는 핵심 구조는
평형 위치 -> 복원력 -> 평형 위치를 지나침 -> 반대 방향 복원력 -> 반복
이다.
대표적인 진동 시스템이 스프링이다.
변위 -> 복원력 -> 가속도 -> 속도 -> 다시 변위
스프링
스프링은 물체가 평형 위치에서 벗어나면 원래 위치로 돌아가려는 복원력(Restoring Force)을 만든다.
이상적인 스프링에서는 변위가 커질수록 복원력도 커진다.
변위 증가 -> 복원력 증가
스프링 상수를 k, 변위를 x라고 하면 복원력은 Hooke의 법칙으로 표현한다.
Hooke의 법칙
Hooke의 법칙은 이상적인 스프링의 복원력을 나타낸다.
F = -kx
k -> 스프링 상수
x -> 평형 위치로부터의 변위
- -> 변위와 반대 방향
이다.
마이너스 부호가 핵심이다.
물체가 오른쪽으로 이동하면 스프링은 왼쪽으로 당기고, 물체가 왼쪽으로 이동하면 스프링은 오른쪽으로 당긴다.
x > 0 -> F < 0
x < 0 -> F > 0
따라서
변위 -> 반대 방향의 복원력
이 발생한다.
스프링 상수 k가 클수록 스프링은 더 강하다.
k 증가 -> 같은 변위에서 더 큰 복원력
감쇠
현실의 진동은 영원히 지속되지 않는다.
마찰, 공기 저항, 재료 내부의 에너지 손실 등으로 인해 진폭이 점점 감소한다.
이 현상을 감쇠(Damping)라고 한다.
일반적인 감쇠력 모델은 속도에 비례한다.
F_d = -cv
c -> 감쇠 계수
v -> 속도
이다.
스프링의 복원력과 감쇠력을 함께 고려하면
F = -kx - cv
가 된다.
따라서
스프링 -> 위치에 따른 복원력
댐퍼 -> 속도에 따른 저항력
으로 구분할 수 있다.
Spring-Damper
Spring-Damper는 스프링과 감쇠기를 결합한 시스템이다.
핵심 구조는
변위 -> Spring Force
속도 -> Damping Force
이다.
두 힘을 합치면
F = -kx - cv
가 된다.
뉴턴의 제2법칙을 적용하면
ma = -kx - cv
이고,
mx'' + cx' + kx = 0
이라는 2차 미분방정식이 나온다.
게임에서는 매우 자주 사용된다.
예를 들어
캐릭터 이동
카메라 추적
무기 반동
차량 서스펜션
물체 흔들림
물리 기반 UI
등에서 Spring-Damper 모델을 사용할 수 있다.
주기
주기(Period) T는 한 번의 진동을 완료하는 데 걸리는 시간이다.
단위는 초(s)다.
T = 1/f
이다.
주기가 짧으면 더 빠르게 진동한다.
T 감소 -> 진동 속도 증가
진폭
진폭(Amplitude) A는 평형 위치에서 최대한 멀리 떨어진 거리다.
예를 들어 물체가
-2 m <= x <= 2 m
범위에서 진동한다면
A = 2 m
이다.
진폭은 진동의 크기를 나타낸다.
이상적인 단순 조화 운동에서는 진폭이 일정하지만 감쇠가 존재하면
시간 증가 -> 진폭 감소
한다.
주파수
주파수(Frequency) f는 1초 동안 몇 번 진동하는지를 나타낸다.
단위는 헤르츠(Hz)다.
1 Hz = 1회/s
주기와 주파수는 서로 역수 관계다.
f = 1/T
T = 1/f
예를 들어 주기가 0.5 s라면
f = 1/0.5 = 2 Hz
이므로 1초에 2번 진동한다.
각주파수
진동에서는 각주파수(Angular Frequency) ω도 자주 사용한다.
ω = 2πf
또는
ω = 2π/T
이다.
단위는 rad/s다.
각주파수는 단순 조화 운동의 수식에서 핵심적으로 사용된다.
위상
위상(Phase)은 진동 주기에서 물체가 현재 어느 상태에 있는지를 나타낸다.
같은 주파수로 진동하더라도 시작 위치나 시작 시간이 다르면 위상이 다를 수 있다.
단순 조화 운동은 일반적으로
x(t) = A cos(ωt + φ)
로 표현할 수 있다.
A -> 진폭
ω -> 각주파수
φ -> 초기 위상
이다.
위상이 같으면 같은 시점에 같은 진동 상태를 가진다.
위상이 다르면 같은 주기라도 운동 상태가 달라진다.
대표적인 관계는
φ = 0 -> cos 기준 시작
φ = π -> 반대 위상
이다.
단순 조화 운동
단순 조화 운동(Simple Harmonic Motion, SHM)은 복원력이 변위에 비례하고 반대 방향으로 작용하는 이상적인 진동이다.
즉
F = -kx
이다.
뉴턴의 제2법칙을 적용하면
ma = -kx
따라서
a = -(k/m)x
가 된다.
핵심은
변위 증가 -> 반대 방향 가속도 증가
라는 것이다.
해는
x(t) = A cos(ωt + φ)
형태로 표현할 수 있다.
스프링 시스템에서는
ω = sqrt(k/m)
이다.
따라서 주기는
T = 2πsqrt(m/k)
이고 주파수는
f = 1/(2π) sqrt(k/m)
이다.
여기서 중요한 특성이 있다.
질량 증가 -> 진동 느려짐
스프링 상수 증가 -> 진동 빨라짐
이상적인 스프링의 주기는 진폭과 관계가 없다.
단순 조화 운동의 위치, 속도, 가속도
위치를
x = A cos(ωt + φ)
라고 하면 속도는 미분해서
v = -Aω sin(ωt + φ)
가 된다.
가속도는
a = -Aω² cos(ωt + φ)
이므로
a = -ω²x
가 된다.
따라서 단순 조화 운동에서는
x -> v -> a
가 서로 연결되어 있다.
운동 상태를 보면
최대 변위 -> 속도 0
평형 위치 -> 속력 최대
최대 변위 -> 가속도 최대
라는 특징이 있다.
진동의 에너지
이상적인 스프링 진동에서는 에너지가 운동 에너지와 탄성 위치 에너지 사이에서 계속 변환된다.
탄성 위치 에너지는
U = 1/2kx²
운동 에너지는
K = 1/2mv²
이다.
마찰이 없다면
E = K + U = constant
이다.
따라서
최대 변위 -> 탄성 에너지 최대 -> 운동 에너지 0
평형 위치 -> 탄성 에너지 최소 -> 운동 에너지 최대
가 된다.
감쇠가 존재하면 일부 에너지가 열 등의 형태로 소모된다.
감쇠 운동
감쇠가 있는 Spring-Damper 시스템은
mx'' + cx' + kx = 0
으로 표현할 수 있다.
감쇠 정도에 따라 운동 형태가 달라진다.
저감쇠
c가 작으면 진동하면서 진폭이 점점 감소한다.
진동 -> 진폭 감소 -> 진동 -> 정지
가 된다.
임계 감쇠
가장 빠르게 진동 없이 평형 상태로 돌아가는 경계 조건이다.
과감쇠
감쇠가 너무 크면 진동하지 않고 천천히 평형 상태로 돌아간다.
정리하면
저감쇠 -> 진동하면서 수렴
임계 감쇠 -> 진동 없이 가장 빠르게 수렴
과감쇠 -> 진동 없이 느리게 수렴
이다.
파동
파동(Wave)은 공간을 통해 진동이나 에너지가 전달되는 현상이다.
중요한 점은 파동이 반드시 물질 자체를 이동시키는 것은 아니라는 것이다.
예를 들어 줄에서 발생한 파동은 줄의 각 부분이 진동하면서 에너지를 전달한다.
파동의 기본 관계는
v = fλ
이다.
v -> 파동 속도
f -> 주파수
λ -> 파장
이다.
따라서
파동 속도 = 주파수 × 파장
이다.
파장
파장(Wavelength) λ는 파동에서 같은 위상을 가진 인접한 두 지점 사이의 거리다.
예를 들어
마루 -> 다음 마루
사이의 거리가 파장이다.
파동의 속도가 일정하다면
v = fλ
이므로
주파수 증가 -> 파장 감소
주파수 감소 -> 파장 증가
가 된다.
파동과 위상
파동에서는 공간적인 위치에 따라서도 위상이 달라진다.
두 지점의 거리가
λ
만큼 차이 나면 같은 위상이다.
λ/2
만큼 차이 나면 반대 위상이다.
따라서
거리 -> 공간적 위상 차이
시간 -> 시간적 위상 차이
로 이해할 수 있다.
공명
공명(Resonance)은 외부에서 주기적으로 가해지는 힘의 주파수가 시스템의 고유 진동수와 가까워질 때 진동 진폭이 크게 증가하는 현상이다.
구조는
외부 주기적 힘 -> 고유 진동수와 접근 -> 에너지 전달 증가 -> 진폭 증가
이다.
시스템의 고유 진동수와 가진 주파수가 일치하면 이상적인 조건에서 매우 큰 진폭이 발생할 수 있다.
실제 시스템에서는 감쇠가 존재하기 때문에 진폭이 무한히 증가하지는 않는다.
공명은
악기
건축물
교량
기계
스피커
게임의 진동 시스템
등에서 나타난다.
진동의 핵심 연결
진동 시스템의 기본 구조는
변위 -> 복원력 -> 가속도 -> 속도 -> 변위
이다.
스프링에서는
변위 -> F = -kx
감쇠기에서는
속도 -> F = -cv
둘을 합치면
변위 + 속도 -> Spring-Damper Force
가 된다.
운동 방정식은
mx'' + cx' + kx = 0
이다.
핵심 정리
스프링 -> 변위에 비례하는 복원력
Hooke의 법칙 -> F = -kx
감쇠 -> 진동 에너지가 소모되어 진폭 감소
감쇠력 -> F_d = -cv
Spring-Damper -> F = -kx - cv
주기 -> T = 1/f
주파수 -> f = 1/T
각주파수 -> ω = 2πf
진폭 -> 평형 위치에서 최대 변위
위상 -> 진동 주기상의 현재 상태
단순 조화 운동 -> x(t) = A cos(ωt + φ)
스프링의 각주파수 -> ω = sqrt(k/m)
스프링의 주기 -> T = 2πsqrt(m/k)
탄성 위치 에너지 -> U = 1/2kx²
회전하지 않는 이상적 진동 -> E = K + U = constant
파동 -> 진동의 공간적 전달
파동 방정식 -> v = fλ
공명 -> 가진 주파수 ≈ 고유 진동수 -> 진폭 증가
전체 구조는 다음과 같이 잡으면 된다.
스프링 -> 복원력 -> 단순 조화 운동
스프링 + 감쇠기 -> Spring-Damper -> 감쇠 진동
진동 -> 주기 / 주파수 / 진폭 / 위상
진동의 공간적 전달 -> 파동
외부 가진 주파수 ≈ 고유 진동수 -> 공명
결국 진동의 본질은 평형 상태에서 벗어난 물체에 복원력이 작용하고, 그 결과 운동 에너지가 위치 에너지와 반복적으로 교환되는 현상이다. 감쇠가 추가되면 에너지가 소모되어 진폭이 감소하고, 외부에서 주기적인 에너지가 공급되면 특정 주파수에서 공명이 발생한다.