운동학(Kinematics)은 물체가 어떻게 움직이는지를 다루는 분야다.
힘이나 질량의 원인을 먼저 다루지 않는다.
주어진 시간에 물체의 위치, 속도, 가속도가 어떻게 변하는지를 분석한다.
핵심 관계는 다음과 같다.
위치 -> 속도 -> 가속도
속도 = 위치의 시간에 대한 변화율
가속도 = 속도의 시간에 대한 변화율
속도
속도는 시간에 따른 위치의 변화율이다.
평균 속도는
v_avg = Δx / Δt
순간 속도는
v = dx/dt
이다.
속도는 벡터이므로 크기와 방향을 가진다.
예를 들어
v = 10 m/s
라고만 하면 속력에 가까운 표현이고,
v = (10, 0) m/s
처럼 표현하면 방향까지 포함한 속도 벡터가 된다.
속력과 속도
둘을 구분해야 한다.
속력 -> 이동한 거리 / 시간
속도 -> 변위 / 시간
예를 들어 물체가 원형 트랙을 한 바퀴 돌고 출발점으로 돌아왔다면,
총 이동 거리 > 0
변위 = 0
이므로 평균 속도는 0이지만 평균 속력은 0이 아니다.
가속도
가속도는 속도의 시간에 따른 변화율이다.
평균 가속도:
a_avg = Δv / Δt
순간 가속도:
a = dv/dt
가속도는 단순히 “빨라지는 것”만 의미하지 않는다.
속도의 크기가 변하거나 방향이 변해도 가속도가 발생한다.
예:
속도 증가 -> 가속도 존재
속도 감소 -> 가속도 존재
방향 변화 -> 가속도 존재
따라서 일정한 속력으로 원운동을 하는 물체도 방향이 계속 변하기 때문에 가속도가 존재한다.
등속도 운동
등속도 운동은 속도가 일정한 운동이다.
v = constant
따라서
a = 0
이다.
1차원에서 위치는
x = x_0 + vt
로 표현할 수 있다.
여기서
x_0 -> 초기 위치
v -> 일정한 속도
t -> 경과 시간
이다.
등속도 운동에서는 시간이 증가할수록 위치가 일정한 비율로 증가한다.
시간 증가 -> 위치 선형 증가
등가속도 운동
등가속도 운동은 가속도가 일정한 운동이다.
a = constant
가속도가 일정하면 속도는 시간에 따라 선형적으로 변한다.
v = v_0 + at
위치는
x = x_0 + v_0t + 1/2 at²
이다.
또 다른 중요한 관계식은
v² = v_0² + 2a(x - x_0)
이다.
대표적인 세 식은 다음과 같다.
v = v_0 + at
Δx = v_0t + 1/2at²
v² = v_0² + 2aΔx
그래프로 보면 관계가 명확하다.
위치-시간 그래프 -> 포물선
속도-시간 그래프 -> 직선
가속도-시간 그래프 -> 수평선
자유낙하
자유낙하는 중력만 받으며 움직이는 운동이다.
공기 저항을 무시하면 지표면 근처에서 중력 가속도는 거의 일정하다.
g ≈ 9.8 m/s²
보통 위쪽을 양의 방향으로 잡으면
a = -g
가 된다.
초기 속도가 0인 물체를 높이 h_0에서 떨어뜨리면
y = h_0 - 1/2gt²
속도는
v = -gt
가 된다.
초기 속도가 존재한다면
y = y_0 + v_0t - 1/2gt²
v = v_0 - gt
로 계산한다.
자유낙하에서 중요한 것은 질량이 다른 물체라도 공기 저항을 무시하면 동일한 중력 가속도를 받는다는 것이다.
포물선 운동
포물선 운동은 중력장 안에서 물체를 비스듬히 던졌을 때 나타나는 운동이다.
핵심은 운동을 x축과 y축으로 분리하는 것이다.
포물선 운동 -> 수평 운동 + 수직 운동
수평 방향에는 중력 가속도가 없다고 가정하면
a_x = 0
이므로
v_x = v_0x
가 일정하다.
수직 방향에는 중력이 작용하므로
a_y = -g
이다.
따라서
x = x_0 + v_0x t
y = y_0 + v_0y t - 1/2gt²
가 된다.
초기 속도 v_0를 발사각 θ로 분해하면
v_0x = v_0 cosθ
v_0y = v_0 sinθ
이다.
같은 높이에서 발사하고 착지한다고 가정하면 주요 공식은
비행 시간 = 2v_0 sinθ / g
최고점 높이 = v_0² sin²θ / 2g
수평 도달 거리 = v_0² sin(2θ) / g
이다.
포물선 운동을 이해할 때 공식 자체보다 축을 분리하는 것이 중요하다.
x축 -> 등속도 운동
y축 -> 등가속도 운동
이 두 운동을 합치면 포물선 궤적이 나온다.
상대 운동
상대 운동(Relative Motion)은 어떤 물체의 운동을 다른 물체를 기준으로 표현하는 것이다.
A에서 바라본 B의 위치는
r_B/A = r_B - r_A
이다.
상대 속도는
v_B/A = v_B - v_A
상대 가속도는
a_B/A = a_B - a_A
이다.
예를 들어
v_A = 10 m/s
v_B = 6 m/s
이고 같은 방향으로 움직인다면
v_B/A = 6 - 10 = -4 m/s
이다.
A가 바라볼 때 B는 반대 방향으로 4 m/s의 속도로 움직이는 것처럼 보인다.
반대로 서로 마주 보고 움직이면 상대 속도는 합쳐진다.
v_relative = v_A + v_B
상대 운동은 게임에서도 중요하다.
플레이어 속도 - 플랫폼 속도 -> 플레이어의 플랫폼 기준 상대 속도
투사체 속도 - 목표물 속도 -> 투사체와 목표물의 상대 속도
카메라 속도 - 월드 오브젝트 속도 -> 화면상 상대 운동
운동학의 핵심 관계
운동학에서 가장 중요한 관계는 다음이다.
위치 x(t) -> 미분 -> 속도 v(t) -> 미분 -> 가속도 a(t)
반대로
가속도 a(t) -> 적분 -> 속도 v(t) -> 적분 -> 위치 x(t)
즉,
a = dv/dt
v = dx/dt
이다.
등가속도에서는 a가 상수이므로 이 관계를 적분하면 우리가 사용하는 운동 공식들이 나온다.
핵심 정리
속도 -> 위치의 시간에 대한 변화율
가속도 -> 속도의 시간에 대한 변화율
등속도 운동 -> v = constant -> a = 0
등가속도 운동 -> a = constant
등가속도 -> v = v_0 + at
등가속도 -> Δx = v_0t + 1/2at²
등가속도 -> v² = v_0² + 2aΔx
자유낙하 -> a = -g
포물선 운동 -> 수평 등속도 + 수직 등가속도
상대 위치 -> r_B - r_A
상대 속도 -> v_B - v_A
상대 가속도 -> a_B - a_A
전체 구조는 다음과 같이 잡으면 된다.
위치 -> 속도 -> 가속도
가속도 -> 적분 -> 속도 -> 적분 -> 위치
등속도 운동 -> a = 0
등가속도 운동 -> a = constant
자유낙하 -> 등가속도 운동의 특수한 경우
포물선 운동 -> x축 등속도 + y축 등가속도
상대 운동 -> 관측 기준에 따른 위치/속도/가속도의 차이
운동학에서 중요한 것은 공식을 외우는 것보다 좌표축을 정하고, 초기 조건을 정의하고, 각 축의 운동을 분리한 뒤 위치-속도-가속도의 관계로 계산하는 것이다.