회전 운동은 직선 운동과 구조가 거의 동일하다.
직선 운동에서
위치 -> 속도 -> 가속도
가 있었다면, 회전 운동에서는
각도 -> 각속도 -> 각가속도
가 된다.
힘이 직선 운동을 변화시키는 것처럼 토크는 회전 운동을 변화시키고, 질량에 대응하는 개념으로 관성 모멘트가 존재한다.
전체 구조는
토크 -> 각가속도 -> 각속도 -> 각도
로 볼 수 있다.
각도
각도(Angular Position)는 물체가 기준 방향에서 얼마나 회전했는지를 나타낸다.
일반적으로 θ를 사용한다.
각도의 SI 단위는 라디안(rad)이다.
한 바퀴는
360° = 2π rad
이다.
따라서
180° = π rad
90° = π/2 rad
이다.
각도는 회전 운동에서 위치에 해당한다.
직선 운동 -> 위치 x
회전 운동 -> 각도 θ
호의 길이 s와 반지름 r의 관계는
s = rθ
이다.
따라서
θ = s/r
이다.
여기서 θ는 반드시 라디안으로 사용해야 한다.
각속도
각속도(Angular Velocity)는 시간에 따른 각도의 변화율이다.
평균 각속도는
ω_avg = Δθ / Δt
순간 각속도는
ω = dθ/dt
이다.
단위는
rad/s
를 사용한다.
각속도는 벡터이며 회전축 방향을 가진다.
오른손 법칙을 사용하면 회전 방향을 벡터 방향으로 표현할 수 있다.
직선 운동과 대응시키면
위치 x -> 각도 θ
속도 v -> 각속도 ω
이다.
원운동에서 선속도와 각속도의 관계는
v = rω
이다.
따라서 같은 각속도로 회전해도 회전축에서 멀리 떨어질수록 선속도가 커진다.
각가속도
각가속도(Angular Acceleration)는 각속도의 시간에 따른 변화율이다.
α = dω/dt
또는
α = d²θ/dt²
이다.
단위는
rad/s²
이다.
직선 운동의 가속도와 대응된다.
가속도 a -> 각가속도 α
각가속도가 일정하다면 등각가속도 운동이 된다.
ω = ω_0 + αt
θ = θ_0 + ω_0t + 1/2αt²
그리고
ω² = ω_0² + 2αΔθ
가 성립한다.
선형 운동과 회전 운동의 대응
회전 운동을 이해할 때 다음 대응 관계를 기억하면 된다.
| 직선 운동 | 회전 운동 |
|---|---|
위치 x | 각도 θ |
속도 v | 각속도 ω |
가속도 a | 각가속도 α |
질량 m | 관성 모멘트 I |
힘 F | 토크 τ |
운동량 p | 각운동량 L |
운동 에너지 1/2mv² | 회전 운동 에너지 1/2Iω² |
이 대응 관계를 이해하면 회전 역학의 대부분을 훨씬 쉽게 정리할 수 있다.
토크
토크(Torque)는 힘이 물체를 회전시키는 정도를 나타낸다.
토크의 크기는
τ = rF sinθ
이다.
r -> 회전축에서 힘이 작용하는 지점까지의 거리
F -> 힘의 크기
θ -> 위치 벡터와 힘 벡터 사이의 각도
이다.
토크는 단순히 힘의 크기만으로 결정되지 않는다.
같은 힘이라도 회전축에서 멀리 작용할수록 더 큰 토크를 만든다.
또한 힘이 회전 방향으로 직접 작용할 때 가장 큰 토크가 발생한다.
θ = 90° -> τ = rF
반대로 회전축을 향하는 방향으로 힘이 작용하면
θ = 0° -> τ = 0
이다.
따라서
힘 + 작용점의 거리 + 방향 -> 토크
로 이해하면 된다.
토크와 각가속도
직선 운동에서
F = ma
가 성립하듯 회전 운동에서는
τ = Iα
가 성립한다.
τ -> 토크
I -> 관성 모멘트
α -> 각가속도
이다.
따라서
α = τ/I
이다.
같은 토크라도 관성 모멘트가 크면 각가속도가 작아진다.
토크 증가 -> 각가속도 증가
관성 모멘트 증가 -> 각가속도 감소
이 관계는 회전 물리의 핵심이다.
각운동량
각운동량(Angular Momentum)은 회전 운동의 운동량에 해당한다.
강체가 고정된 축을 중심으로 회전하는 단순한 경우
L = Iω
이다.
직선 운동의
p = mv
와 대응한다.
질량 m -> 관성 모멘트 I
속도 v -> 각속도 ω
운동량 p -> 각운동량 L
이다.
토크와 각운동량의 관계는
τ = dL/dt
이다.
따라서
토크 -> 각운동량 변화
로 볼 수 있다.
각운동량 보존
외부에서 알짜 토크가 작용하지 않으면 각운동량은 보존된다.
L_initial = L_final
고정축 회전에서는
I_1ω_1 = I_2ω_2
가 된다.
따라서 관성 모멘트가 변하면 각속도가 반대로 변한다.
I 감소 -> ω 증가
I 증가 -> ω 감소
피겨 스케이터가 팔을 몸 안쪽으로 모으면 회전 속도가 증가하는 것도 같은 원리다.
강체
강체(Rigid Body)는 내부의 모든 점 사이의 거리가 변하지 않는 이상적인 물체다.
실제 물체는 힘을 받으면 변형되지만, 강체 모델에서는 이러한 변형을 무시한다.
강체에서는 물체 전체를 개별 입자의 집합으로 계산하지 않고
질량 + 질량 중심 + 회전 상태
등으로 단순화할 수 있다.
강체의 운동은 크게 두 가지로 나눌 수 있다.
병진 운동 -> 질량 중심의 이동
회전 운동 -> 질량 중심을 기준으로 한 회전
일반적인 강체 운동은
병진 운동 + 회전 운동
으로 표현할 수 있다.
게임 물리에서도 Rigidbody 같은 물리 객체는 이런 방식으로 모델링된다.
질량 중심
질량 중심(Center of Mass)은 물체의 질량이 하나의 점에 집중되어 있다고 생각할 수 있는 대표 위치다.
여러 질점으로 구성된 시스템에서는
r_cm = Σ(m_i r_i) / Σm_i
이다.
두 물체만 있다면
r_cm = (m_1r_1 + m_2r_2)/(m_1 + m_2)
이다.
질량이 큰 물체에 질량 중심이 더 가까워진다.
질량 중심을 기준으로 보면 복잡한 여러 물체의 병진 운동을 단순화할 수 있다.
외력이 작용하는 경우 질량 중심은
F_ext = Ma_cm
에 따라 움직인다.
즉 시스템 전체의 병진 운동은 전체 질량과 질량 중심의 운동으로 정리할 수 있다.
관성 모멘트
관성 모멘트(Moment of Inertia)는 회전 운동에서 질량이 회전에 저항하는 정도를 나타낸다.
질량이 회전축에서 멀리 분포할수록 관성 모멘트가 커진다.
점질량 하나라면
I = mr²
이다.
여러 질점으로 구성되면
I = Σm_ir_i²
이다.
연속적인 물체에서는
I = ∫r²dm
으로 표현한다.
핵심은 r²이다.
질량이 단순히 많다고 관성 모멘트가 큰 것이 아니다.
회전축에서 얼마나 멀리 질량이 분포되어 있는가가 중요하다.
대표적인 관성 모멘트
형태와 회전축에 따라 관성 모멘트가 달라진다.
대표적으로
점질량 -> I = mr²
얇은 막대, 중심축 -> I = 1/12 ML²
얇은 막대, 끝점축 -> I = 1/3 ML²
실린더/원판, 중심축 -> I = 1/2 MR²
고리, 중심축 -> I = MR²
구, 중심축 -> I = 2/5 MR²
이다.
따라서 같은 질량과 크기를 가진 물체라도 질량 분포가 다르면 회전 특성이 달라진다.
평행축 정리
질량 중심을 지나는 축의 관성 모멘트를 알고 있다면 평행한 다른 축의 관성 모멘트를 구할 수 있다.
I = I_cm + Md²
I_cm -> 질량 중심을 지나는 축의 관성 모멘트
M -> 전체 질량
d -> 두 회전축 사이의 거리
이다.
회전축이 질량 중심에서 멀어질수록
d 증가 -> I 증가
한다.
회전 운동 에너지
회전하는 강체는 회전 운동 에너지를 가진다.
K_rot = 1/2Iω²
직선 운동의
K = 1/2mv²
와 대응한다.
따라서
질량 m -> 관성 모멘트 I
속도 v -> 각속도 ω
로 치환하면 구조가 동일하다.
강체가 병진과 회전을 동시에 한다면 전체 운동 에너지는
K = 1/2Mv_cm² + 1/2I_cmω²
로 표현할 수 있다.
즉,
병진 운동 에너지 + 회전 운동 에너지
로 분리된다.
회전과 강체의 핵심 연결
회전 운동의 기본 흐름은
각도 -> 각속도 -> 각가속도
이다.
힘 대신 토크가 회전을 변화시킨다.
토크 -> 각가속도
그리고
τ = Iα
이다.
각운동량 관점에서는
토크 -> 각운동량 변화
τ = dL/dt
가 된다.
에너지 관점에서는
토크 -> 회전 운동 -> 회전 운동 에너지
K_rot = 1/2Iω²
로 연결된다.
핵심 정리
각도 -> θ
각속도 -> ω = dθ/dt
각가속도 -> α = dω/dt
선속도와 각속도 -> v = rω
토크 -> τ = rFsinθ
회전 운동의 뉴턴 법칙 -> τ = Iα
각운동량 -> L = Iω
토크와 각운동량 -> τ = dL/dt
각운동량 보존 -> L_initial = L_final
강체 -> 내부 점 사이의 거리가 변하지 않는 이상적 물체
질량 중심 -> r_cm = Σ(m_ir_i)/Σm_i
관성 모멘트 -> I = Σm_ir_i²
점질량 -> I = mr²
평행축 정리 -> I = I_cm + Md²
회전 운동 에너지 -> K_rot = 1/2Iω²
직선 운동과 대응시키면 다음 구조가 가장 중요하다.
위치 x -> 속도 v -> 가속도 a
각도 θ -> 각속도 ω -> 각가속도 α
질량 m -> 관성 모멘트 I
힘 F -> 토크 τ
운동량 p -> 각운동량 L
F = ma -> τ = Iα
p = mv -> L = Iω
K = 1/2mv² -> K_rot = 1/2Iω²
결국 회전 역학의 본질은 질량이 회전축에서 어떻게 분포되어 있는지가 회전의 관성을 결정하고, 토크가 그 관성을 상대로 각가속도를 만들어낸다는 것이다.